The Hamptons
ロングアイランド東部にある高級リゾート地を指す固有名詞です。
are
「～である」「～だ」という意味で、主語と補語を結びつけます。
a group of villages and hamlets
「村と小集落の集まり」という意味で、`group`（集まり）、`villages`（村）、`hamlets`（小集落）から成ります。
on Long Island
「ロングアイランドに」という意味で、場所を示します。
known for
「～で知られている」という意味のフレーズです。
their beautiful beaches
「それらの美しいビーチ」という意味で、`their`（それらの）、`beautiful`（美しい）、`beaches`（ビーチ）から成ります。